El matemático que resolvió el teorema cosmológico de Conway

La «desintegración audioactiva» y los trabajos de un peculiar investigador que no concedía entrevistas pero que contribuyó al debate del nuevo concepto de demostración matemática

¿Cuál es el siguiente término de la sucesión 1 – 11 – 21 – 1211 – 111221 – 312211? 
Este pequeño juego de ingenio está basado en una sucesión de números que se conoce con el nombre de «desintegración audioactiva», juego de palabras con «desintegración radioactiva», o también, la sucesión «mira y di», ya que cada término de la sucesión se obtiene recitando las cifras, y cuántas hay iguales seguidas, del término anterior, empezando por 1 (aunque se podría empezar por cualquier otro número). Por lo tanto, para obtener el segundo término vemos, y leemos, el primero, que es «un uno», luego 11. El siguiente, mirando al segundo, «dos unos», es 21. Le sigue «un dos y un uno», 1211, «un uno, un dos y dos unos», 111221, es el siguiente término, y después del número 312211, «tres unos, dos doses y un uno», seguro que el lector, o lectora, de este artículo puede seguir con la sucesión… 13112221, 1113213211,…

El matemático británico John H. Conway, que estudió esta sucesión en la década de 1980, enunció el teorema cosmológico que afirma que a partir de un determinado número la sucesión de desintegración audioactiva «se desintegra», es decir, cada elemento a partir de ese se descompone como unión de alguno de los 92 subtérminos básicos, a los que se llamó «elementos atómicos» por su analogía con los elementos químicos.

La sucesión «mira y di» aparece explicada en la novela sobre espionaje informático del físico Clifford Stoll, «El huevo del cuco» (Planeta, 1990).

La lista de estos elementos atómicos se construye a partir de los 92 primeros términos de la sucesión de desintegración audioactiva empezando en el 3, que es el Uranio (U). Después, el término 13 es el protactio (Pa), el 1113 el Torio (Th), 3113 es el actinio (Ac), 132113 el radio (Ra), etcétera. Por ejemplo, el magnesio (Mg) es 3113322112 y da lugar al término 132123222112, que se compone de Prometio (Pm) 132 y Sodio (Na) 123222112.
La solución para el teorema

Según el profesor Conway existían dos demostraciones del teorema cosmológico, pero se «perdieron»antes de ser publicadas. Finalmente, en el año 1997 se publicó una demostración de este resultado matemático, Demostración del teorema cosmológico de Conway, en la revista «Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society», cuyos autores eran los matemáticos Shalosh B. Ekhard y Doron Zeilberger, por entonces en la Universidad de Temple (EE.UU.). Este resultado dio notoriedad a sus autores.


Fotografía del matemático Doron Zeilberger con una identidad hipergeométrica en su camiseta - WIKIMEDIA COMMONS

El matemático israelí, afincado en Estados Unidos, Doron Zeilberger(Haifa, 1950) ya era un matemático conocido, con una investigación importante en el campo de la combinatoria y en las series hipergeométricas. Sin embargo, Shalosh B. Ekhard apenas era conocido.

Shalosh B. Ekhard empezó a trabajar con Doron Zeilberger a finales de la década de 1980. Su primer artículo fue «Una demostración del siglo 21 de la identidad hipergeométrica de Dougall», publicado en la revista «Journal of Mathematical Analysis and Applications», en 1990, junto a Zeilberger. A este le seguirían otros trabajos, algunos en solitario, como «Una demostración muy corta del teorema de Dixon», «Journal of Combinatorial Theory», 1990, o junto a otros matemáticos, por ejemplo, «Una demostración corta de la fórmula de Jacobi para el número de representaciones de un entero como suma de cuatro cuadrados», The American Mathematical Monthly, 1993, junto con George Andrews y Doron Zeilberger.
Primera página del primer artículo de Shalosh B. Ekhad con Doron Zeilberger en 1990
El enigmático Shalosh B. Ekhad

Poco a poco, el nombre de Shalosh B. Ekhad empezó a ser conocido en la comunidad matemática, en particular, tras la demostración del teorema cosmológico. Pero, como comentó el matemático George Szpiro en su libro «Festival Matemático, 50 pasatiempos y curiosidades» (Alianza, 2012), «había algo raro en Ekhad y nadie alcanzaba a imaginar qué era». Cuando la gente se metía en la página web de su universidad (según las direcciones que aparecían en sus artículos, primero la Universidad de Temple y después la Universidad de Rutgers), para contactar con él o para ver sus publicaciones no lo encontraban entre la lista de docentes de la universidad, ni entre otro tipo de personal (postdoctorales, visitantes, etc). Las invitaciones que sus colegas le hacían desde diferentes partes del mundo para participar en seminarios o congresos, impartir conferencias o hacer estancias de investigación en otras universidades, se quedaban sin respuesta o eran «respondidas siempre con una negativa por una educada persona de la secretaría». Tampoco respondía afirmativamente a los estudiantes que le solicitaban realizar una tesis doctoral bajo su dirección.

Por lo que algunos matemáticos empezaron a preguntarse sobre la identidad de este profesor, y empezaron a correr rumores por la red sobre su identidad. Comenta Szpiro que en la lengua hebrea el nombre «Shalosh B. Ekhad» significa «tres en uno», lo cual estimuló la fantasía de algunos. No sería el primer caso de un grupo de matemáticos que firma con un seudónimo, como el famoso caso de Bourbaki, donde un grupo de matemáticos franceses, bajo el seudónimo de Nicolás Bourbaki, se propusieron revisar los fundamentos de las matemáticas en la década de 1930.

Al parecer George Szpiro fue una de esas personas interesadas en desvelar el misterio de quién el extraño matemático Shalosh B. Ekhad. Por eso cuando oyó que su mentor Doron Zeilberger, también de la Universidad de Rutgers, iba a asistir a un congreso matemático en la isla griega de Mykonos, decidió participar en el mismo con la intención de hablar con él. Szpiro buscó al Profesor Zeilberger y una vez localizado fue a la búsqueda de la respuesta al enigma que le había llevado hasta la pequeña isla griega. Y descubrió que el misterioso matemático era en realidad el ordenador del profesor Zeilberger.

El misterio es desvelado

Su historia era la siguiente. El ordenador personal de Doron Zeilberger, adquirido por este en 1987, había sido fabricado por AT&T, en el edificio número 3, pasillo B, habitación número 1 de los Laboratorios Bell, por lo que lo identificaron como «3B1». El matemático que estaba entusiasmado con su ordenador le puso nombre en su lengua materna, en hebreo «Shalosh B. Ekhad».

Doron Zeilberger y el matemático Herbert Wilf, de la Universidad de Pensilvania, idearon un algoritmo para hallar y demostrar identidades matemáticas (por el que recibieron años más tarde, el «Premio LeRoy P. Steele de la American Mathematical Society», que era precisamente lo que hacía el ordenador de Zeilberger, el cual superó rápidamente todas las expectativas que habían puesto en él. De esta forma, Shalosh B. Ekhad «encontró demostraciones nuevas para identidades ya conocidas, y también descubrió identidades completamente nuevas». Lo interesante de esta historia es que Zeilberger reconoció el mérito de su ordenador incluyéndolo como autor de los trabajos en los que «participó».

Shalosh B. Ekhad, la computadora del profesor Doron Zeilberger

Pero Shalosh B. Ekhad, o más bien la familia de ordenadores del matemático Doron Zeilberger a los que ha seguido llamando de esta forma, ha continuado publicando artículos durante todos estos años. Algunos en revistas de investigación matemática, el último ha sido «Cómo generar tantos milagros del tipo de Somos como desees», «Journal of Difference Equations and Applications», 2014, con Zeilberger. Y otros en la publicación on-line creada por ambos, la «Revista Personal de Shalosh B. Ekhad y Doron Zeilberger».

El trabajo científico de Shalosh B. Ekhad, y su inclusión como autor de artículos de investigación matemática, ha contribuido al debate sobre el nuevo concepto de demostración matemática, tras la revolución que han generado los ordenadores e internet. Incluso hay quien ha acuñado el término en inglés «shaloshable», para expresar cuando una demostración humana puede ser realizada por Shalosh B. Ekhad, o mediante un algoritmo. Por el contrario, algunos matemáticos se han preocupado por realizar «demostraciones humanas» de resultados obtenidos por Shalosh B. Ekhad, como en el artículo «Una demostración humana para una generalización de Shalosh B. Ekhad del teorema de los caminos del retículo 10n», «Ars Combinatoria», 2008.

De la entrevista a Doron Zeilberger en la MAA Focus (2007): «Shalosh B. Ekhad es un tipo fascinante. Por supuesto, está hecho de silicio, y no es realmente un cuerpo, pero es definitivamente un alma (software). El cuerpo ha sido reencarnado muchas veces. Como sabemos, los ordenadores son muy potentes, pero su esperanza de vida es mucho más corta que la de los humanos, ya que los ordenadores son cada vez mejores y más rápidos, por lo que tienes que adquirir uno nuevo cada tres años, pero siempre puedes reinstalar todo el software de un Shalosh al siguiente, garantizando la inmortalidad de su alma».

RAÚL IBÁÑEZ TORRES

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