La vara de JACOB




En una ocasión, un alumno y su profesora de Historia, juntos, preguntaron cómo fue posible que los antiguos pueblos de la Mesopotamia asiática tuvieran una avanzada astronomía si el telescopio solo se inventó a principios del siglo XVII de nuestra era. La pregunta escondía la suposición de que la astronomía requiere de telescopios, la que es errónea y constituye uno de los malentendidos que rodean a una ciencia a la cual muchos nos dedicamos, como docentes o como aficionados. Tal vez no sea el más grave de esos malentendidos, pero seguramente contribuyó a alejar de la práctica astronómica a más de un potencial entusiasta, asustado por el precio de los telescopios.

Para despejar el error, presentamos en esta nota un instrumento muy sencillo y económico, que permite abordar varios temas astronómicos en el aula y, al mismo tiempo, disfrutar del cielo. La invención del aparato es por lo común atribuida al filósofo y astrónomo provenzal Levi ben Gershon (1288-1344), también conocido por Gersonides, aunque se han encontrado descripciones de objetos muy semejantes en textos chinos e indios de los siglos XI y XII. En inglés su nombre suele ser cross staff, pero también se lo denomina Jacob’s staff; en las referencias españolas aparece como vara de Jacob, palo de Jacob, palo de Santiago, ballestilla, cruz geométrica, escuadra de agrimensor e incluso varilla de oro.

Consiste en una larga varilla recta por la cual puede deslizarse otra más corta perpendicular a ella, de modo que ambas formen en todo momento una cruz. Como lo explica la figura 1, si se mira desde un extremo de la varilla larga, las puntas de la corta y el ojo del observador configuran un ángulo que llamaremos a y que será más o menos agudo según la distancia desde dicho extremo (o desde el ojo del observador) a que se coloque la varilla corta. Si llamamos d a esa distancia y L a la longitud de la varilla corta, el ángulo a puede calcularse recurriendo a uno de los conceptos básicos de la trigonometría plana: el de tangente.


Para quienes no tengan fresca su trigonometría escolar, recordemos que se llama tangente de un ángulo (simbolizada por tan) a la relación entre los catetos opuesto y adyacente de un triángulo rectángulo del que ese ángulo sea uno de los ubicados en los extremos de la hipotenusa. Si se observa la figura 1, se podrá advertir que el eje de la varilla larga de la vara de Jacob divide el ángulo a exactamente por la mitad, que ese eje puede tomarse como el cateto adyacente del ángulo a/2, y que si ese cateto mide d, el cateto opuesto medirá L/2. En otras palabras, el cociente L/2d será la tangente del ángulo a/2, y el doble de ese valor será la tangente de a.

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